Mathématiques - Analyse numérique et Optimisation

Ce cours est destiné à donner les bases de l’étude et de l’analyse de méthodes numériques utiles pour les sciences de l’ingénieur. Divers sujets seront abordés en cours magistral et mis en pratique lors de séances de travaux dirigés sous l’environnement Matlab. Des applications sur des problèmes concrets seront notamment développées afin de mettre en évidence l’importance de la maîtrise de la simulation numérique, de la théorie à la pratique, pour l’ingénieur.

Séance 1: Résolution d'équations non linéaires

Les algorithmes classiques (dichotomie, sécante, Newton, point fixe) en dimension 1 et leur adaptation en dimension supérieure. L'étude de la convergence et la comparaison des algorithmes. Méthodes d'accélération de la convergence (Aitken, Steffensen).

Séance 2: Interpolation et approximation des fonctions

Interpolation de Lagrange, formules de Newton (différences divisées). Formules d'erreur. Approximation uniforme et au sens des moindres carrés, fonctions splines cubiques.

Séance 3: Intégration et dérivation numérique

Méthodes composites du type Newton-Cotes et méthodes de Gauss. Analyse de l'erreur. Dérivation numérique et formule d'erreur. Application à la résolution d'équations aux dérivées partielles par des méthodes de différences finies.

Séances 4 et 5: Equations différentielles

Quelques rappels théoriques. Résolution numérique des équations différentielles : méthodes à un pas, explicites et implicites (Euler, Crank-Nicholson, Runge-Kutta). Méthodes multi-pas (Adams et ses variantes). Ajustement du pas. Notion de stabilité et convergence. Méthode de tir pour les problèmes aux limites.

Séance 6 et 7: résolution de systèmes linéaires

Méthodes directes : pivot de Gauss, factorisation LU et Choleski. Factorisation QR. Conditionnement d'une matrice et effet sur l'erreur. Méthodes itératives (Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation, Gradient conjugué avec ou sans préconditionnement). Convergence et comparaison des différentes méthodes.

Séance 8 et 9:  Optimisation

Les bases théoriques de l'optimisation: existence de solutions, conditions d'optimalité du premier et du second ordre, multiplicateurs de Lagrange et Karush-Kuhn-Tucker. Optimisation sans contraintes, méthodes de gradient et gradient conjugué. Optimisation avec contraintes: méthodes de projection et de pénalisation.

Détecter et déduire les propriétés de certains phénomènes numériques à l'aide de raisonnements mathématiques.