Responsable(s) : Céline LACAUX, Maître de Conférences
Coordonnées: celine.lacaux@univ-lorraine.fr
Crédits ECTS : 4
Durée: 42 heures
Mots clés : Probabilités
Pré requis: notions d'analyse fonctionnelle et notions de bases en probabilités
OBJECTIF GENERAL : présenter quelques processus stochastiques
PROGRAMMES ET CONTENUS :
Pré requis
Quelques notions d'analyse fonctionnelle (l'intégration de Lebesgue, les espaces de Hilbert) et des notions de bases en probabilités (tribu, espace probabilisé, variable aléatoire, densité, fonction de répartition et fonctions caractéristiques).
Objectifs pédagogiques
Ce cours a pour objet de présenter quelques processus stochastiques. Il sagit en particulier, de mettre en place les outils indispensables à la compréhension des modèles mathématiques de la finance. Ce cours sera également utile
pour bien comprendre les méthodes stochastiques employées pour modéliser tout phénomène comportant une part d'aléatoire.
Contenu - Programme
Variables aléatoires gaussiennes : les différentes caractérisations de ces variables aléatoires.
Vecteurs aléatoires gaussiens : caractérisation via la matrice de covariance ou la densité, convergence vers la loi normale et application au test du chi-deux.
Conditionnement : définition de l'espérance conditionnelle, lien entre espérance conditionnelle et projection, définition des lois conditionnelles.
Martingales : définition des temps d'arrêt et des martingales, propriétés d'arrêt d'une martingale, convergence de suites de martingales.
Chaînes de Markov : définition et exemples, chaînes canoniques, propriétés de Markov et temps d'arrêt, description de la chaîne en utilisant le potentiel, mesure invariante et convergence de la chaîne vers cette mesure.
Références
Un polycopié est disponible pour l'ensemble de ce cours.